Cho a , b , c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\)
\(\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{a+b+2c}-2\)(*)
Lại có: theo AM-GM:\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2c}.1}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{a+b+2c}{2c}=\dfrac{a+b+2c}{4c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge\dfrac{4c}{a+b+2c}\)(**)
từ (*) và (**),ta có:
\(VT\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)+4c}{a+b+2c}-2=\dfrac{4\left(a+b+2c\right)}{a+b+2c}-2=2\)(ĐpcM)
Dấu = xảy ra khi a=b=c>0
Cho các số dương a,b,c .Chứng minh rằng bất đẳng thức
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b}}\)\(\ge2\)
Đặt: A=a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)
. B=b/(b+c)+c/(c+d)+d/(d+a)+a/(a+b)
. C=c/(b+c)+d/(c+d)+a/(d+a)+b/(a+b)
Ta có: B+C=4
Áp dụng Cosôsi và BĐT quen thuộc: 1/x+1/y >= 4/(x+y) với x,y dương ta có:
A+B=(a+b)/(b+c)+(b+c)/(c+d)+
+(c+d)/(d+a)+(d+a)/(a+b) >=4
A+C =(a+c).[1/(b+c)+1/(d+a)] +(b+d).[1/(a+b)+1/(c+d)]
>= 4(a+c)/(b+c+d+a) +4(b+d)/(a+b+c+d)=4
Do đó : 2A+B+C >= 8
Mà B+C=4 nên A >= 2
chứng minh \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\) với mọi a,b,c >0
Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)
\(=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{2c}{\sqrt{2c\left(a+b\right)}}\)
\(\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b+2c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+2c\right)}\ge0\)
(đúng hiển nhiên)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
Cho a>0,b>0,c>0. Chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)
*Cách khác
Khá căn bản thôi áp dụng BĐt cosi với 2 số dương
`=>a+(b+c)>=2sqrt{a(b+c)}`
`=>a/(2sqrt{a(b+c)})>=a/(a+b+c)`
`<=>sqrt{a/(b+c)}>=(2a)/(a+b+c)`
CMTT:
`sqrt{b/(c+a)}>=(2b)/(a+b+c)`
`sqrt{c/(a+b)}>=(2c)/(a+b+c)`
`=>sqrt{a/(b+c)}+sqrt{b/(c+a)}+sqrt{c/(a+b)}>=2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=0` vô lý vì `a,b,c>0`
Chứng minh a,b,c số thực không âm thỏa ab+bc+ca > 0 \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+1}}+2\sqrt{\dfrac{c}{a+b+c}}\ge2\)
Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: \(ab+bc+ca\ge\dfrac{4abc}{2a+b+c}+\dfrac{4abc}{2b+c+a}+\dfrac{4abc}{2c+a+b}\)
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}\ge\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+c+a}+\dfrac{1}{2c+a+b}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{nht}+\dfrac{1}{is}+\dfrac{1}{the}+\dfrac{1}{best}\ge\dfrac{16}{nht+is+the+best}\):
\(\dfrac{1}{2a+b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VP\le\dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge2\)
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}\ge\dfrac{2a}{b+1+b^2-b+1}=\dfrac{2a}{b^2+2}\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge\dfrac{2a}{b^2+2}+\dfrac{2b}{c^2+2}+\dfrac{2c}{a^2+2}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+2}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+2}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+2}\)
\(VT\ge6-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+2}+\dfrac{bc^2}{c^2+2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{ab^2}{b^2+2}=\dfrac{2ab^2}{2b^2+4}=\dfrac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\le\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2b^2}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2.b.b}\le\dfrac{a}{9}\left(2+b+b\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge6-\left(\dfrac{2a}{9}\left(b+1\right)+\dfrac{2b}{9}\left(c+1\right)+\dfrac{2c}{9}\left(a+1\right)\right)\)
\(=6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{9}\left(ab+bc+ca\right)\ge6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{27}\left(a+b+c\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chứng minh bất đẳng thức cô-si với 3 số a,b,c không âm: \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)